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  • Cuentos Cuánticos : Conversaciones con mi Nexus7 sobre gemelos relativistas


    22/01/2015

    nexus-7He tenido un sueño, mi nexus7 adquiría consciencia y se preguntaba por todo, especialmente por la relatividad especial y general, especialmente por la dilatación de tiempos y por los gemelos. Pobrecita mi nexus7, sin tener ni idea buscaba desesperadamente alguien que la iluminara y la sacara de sus múltiples dudas y errores conceptuales.

    En mi sueño le explicaba a mi dulce nexus7 en qué consistía el problema de los gemelos en relatividad especial y cuan confuso puede ser ese problema sobre todo si se mezclan churras con meninas.

    churrasmeninas

    Esta entrada es el resultado de ese sueño y, por supuesto, se la dedico con todo mi cariño a mi nexus7.

    En relatividad todo es relativo excepto lo que no lo es

    La relatividad especial nos dice esencialmente dos cosas:

    a)  Las leyes de la física son las mismas para todo observador que se mueve en línea recta y a velocidad constante.

    b)  La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos esos observadores.

    El primer postulado nos informa de que hay unos observadores “privilegiados” en relatividad especial, los observadores inerciales que tienen asociados sistemas de referencia (conjunto de reglas dispuestas en unos ejes y relojes para poder medir distancias y tiempos), los sistemas de referencia inerciales.

    La cuestión es que ninguno de esos sistemas inerciales es mejor que otro, podemos hacer experimentos situados en cualquier sistema inercial y obtendremos unos resultados numéricos que estarán asociados a ese sistema en concreto.  Cualquier otro observador inercial en otro sistema de referencia inercial obtendrá otros números en los resultados del experimento.

    No pasa nada, la relatividad especial nos dice que si transformamos nuestras coordenadas (en nuestro sistema de referencia) en las coordenadas de cualquier otro sistema de referencia, nuestros resultados se transformaran en los suyos y viceversa.  A esas transformaciones se las conoce como transformaciones de Lorentz-Poincaré.

    Aquí hay un detalle interesante, la diferencia entre observadores o sistemas de referencias privilegiados y absolutos.  Que suenan igual pero no son lo mismo a poco que lo pienses. Piénsalo y ahora volveremos sobre ello.

    Le gemeliers relativistic

    gemelos

    Una de las cosas más conocidas de la relatividad especial es que se lleva mal con eso de definir un paso del tiempo que sea lo mismo para todo el mundo. Tal vez haya que aclarar este punto.

    1.-  En relatividad especial no se puede dar una definición absoluta de simultaneidad.  Dos sucesos simultáneos para un observador no lo serán para otro observador distinto.

    2.-  Si tengo dos observadores inerciales A y B relativos, es decir, se mueven uno respecto al otro en línea recta y a velocidad constante, y comparan sus relojes encontrarán algo curioso.  A dirá que el reloj de B funciona más lento que el suyo.  Pero como la situación es simétrica, B dirá que es el reloj de A el que funciona más lento que el suyo.  Para una explicación visual pulsa AQUI.

    ¿Quién lleva razón?  Los dos, el paso del tiempo es algo personal e intransferible para un observador.  De todas formas A y B se cruzarán a lo sumo una vez y luego seguirán en su línea recta con su velocidad separándose para siempre.  No hay problema.

    La cosa se pone más fea cuando A y B se cruzan en un punto, sincronizan sus relojes y se alejan.  Pero en algún momento B decide volver, da la vuelta y se vuelve a encontrar con A. Resulta entonces que el reloj de B ha ido mucho más lento que el de A, que sí se aprecia la diferencia. Si A y B fueran dos gemelos, A sería mucho más viejo que B cuando se volvieran a juntar, su reloj ha ido más deprisa.

    ¿Dónde está la simetría de la relatividad especial? ¿Acaso B no podría haber dicho que él estaba en reposo y era A el que se movía respecto a él?

    Aquí es cuando la gente tira de imaginación y nos dice que la situación no es simétrica porque B en algún momento ha tenido que acelerar para dar la vuelta o para conseguir su velocidad respecto a A y entonces eso hace que se pueda distinguir entre A y B porque en B se han sentido fuerzas no-inerciales.

    Otros dirán que es que hay que aplicar la relatividad general en este caso porque hay sistemas no inerciales en juego (B tiene que acelerar en algún momento).

    Todas esas respuestas son correctas pero innecesarias. Para verlo imaginemos esta situación:

    a)  Tenemos un observador A en reposo (respecto a nosotros).

    b)  En determinado instante se cruza con un observador inercial B  sincronizan sus relojes.  B sigue su camino alejándose de A a velocidad constante.

    c)  En un determinado instante B se cruza con un observador inercial C que tiene la misma velocidad que B respecto a A pero de sentido contrario.  En el cruce sincronizan B y C sus relojes.

    d)  En un determinado instante A y C se cruzan y pueden comparar sus relojes.

    tressistemas

    Aquí no hay aceleraciones en ningún momento, solo hay un juego de sistemas de referencia inerciales. Y sin embargo, para A ha pasado más tiempo que para el sistema B+C.  ¿Cómo es eso posible?

    La razón es “GEOMETRÍA”, en relatividad especial usamos un espacio geométrico distinto al usual, el espacio euclídeo de toda la vida.  En el espacio de la relatividad especial, el espacio de Minkowski para que tenemos una desigualdad triangular que nos dice que la distancia entre dos puntos medida en línea recta es siempre la mayor posible.  Por eso, para A la distancia entre los puntos en los que se cruza con B y con C, es mayor que la suma de los otros dos.  A esto se denomina desigualdad triangular inversa.

    Así que ni relatividad general, ni aceleraciones, ni nada extraño, lo de los gemelos se puede explicar por relatividad especial.  Es evidente que si aceleras y tal pues entonces las explicaciones de toda la vida (que siempre me han parecido oscuras) sirven, pero no hace falta ir a relatividad general para nada.

    En un espacio con una dimensión COMPACTA

    Circula por ahí una ligera confusión sobre un universo cerrado o un universo con dimensiones compactas.  Que no viene siendo lo mismo, ni tan solo parecido.

    Un universo se dice cerrado si tiene secciones espaciales con curvatura constante y positiva.

    Un universo se dice que tiene una dimensión compacta si esta tiene puntos identificados, es decir, no se extiende indefinidamente (hablando muy pedestremente).

    El ejemplo de dimensión compacta más simple es el de un cilindro. Un cilindro no es más que un plano en el que hemos compactificado una de sus dimensiones.

    compactification

    Podríamos seguir haciéndole guarradas al plano e identificar de distintas formas sus dimensiones, así podríamos obtener otras cosas además del cilindro:

    Torus2000px-Moebius_strip.svgKleinBottle-02

    Por cierto, todos esos son espacios planos (localmente) solo que tienen topologías diferentes.

    ¿Por qué hablamos de esto si estábamos hablando de gemelos relativistas?

    Imaginemos que nuestro espacio es un cilindro. Si eso es así un observador que se moviera en “línea recta” y a a velocidad constante en la dimensión compacta volvería al punto de partida (suponiendo que no hay expansión del espacio) sin haber acelerado.  Sería todo un señor observador inercial en cada punto.

    En este espacio, que es plano a efectos topológicos, la métrica que tenemos definida es la métrica de Minkowski (tomando c=1):

    minkowskimetric

    Supongamos que la dimensión compacta es la asociada con la X.  Entonces los puntos en esa dimensión quedan identificados (definen una relación de equivalencia) si cumplen:

    compactoEs decir, que un punto con las mismas t,y,z y cuya x se diferencia en un múltiplo entero de L (longitud de la dimensión compacta) son el mismo punto.

    Ahora tomemos un observador A que define el punto:

    puntoPara dicho observador, todos los puntos del tipo

    puntoeq Son equivalentes con el anterior.

    Si ahora tenemos un observador B que se mueve respecto a A en línea recta y velocidad constante y le pedimos que nos describa estos puntos aplicará para ello una transformación de Lorentz:

    El punto p0 de A visto por B tiene la forma:

    inicialB

    Y los pn de A vistos por B tienen la forma:

    pnequ

    Pero eso no es bueno del todo porque si ahora queremos estudiar la equivalencia de esos puntos nos encontramos con que para B la equivalencia viene dada por esta relación:

    equivalenciaBQue es diferente a la relación dada por A, es decir, NO HAY INVARIANCIA LORENTZ GLOBAL ES ESTE ESPACIO CON UNA DIMENSIÓN COMPACTA.

    Si B está en reposo respecto a A, eso se traduce en que \beta=0 en la anterior relación y por lo tanto se recupera la misma relación de equivalencia en ambos sistemas (como es lógico).

    Además, podemos decir que hay un observador privilegiado en el sentido de que la cantidad \gamma L es la menor de todas las posibles.  Dicho observador es el que ve la dimensión compacta con la menor longitud posible.

    Este observador es el único que puede dar una asignación de tiempos consistente a todo los puntos del espacio. Cualquier otro observador en movimiento respecto a este no puede hacer eso (mirad lo que pasa con B). Eso es así porque a un mismo punto (equivalente) se le asignan distintos tiempos.

    equivalenciaB

     ¿Quieres saber la resolución de este caso de los gemelos?

    Time, topology and twin paradox

    Twin paradox and space topology

    The twin paradox in compact spaces

    Homotopy symmetry in the multiply connected twin paradox of special relativity

    Una aclaración sobre sistemas privilegiados y sistemas absolutos

    Se me ha criticado, por algunos barrios, muy duramente la entrada:  El tiempo no va más despacio, compadre.

    Si alguien se lee la entrada verá como lo que se critica es el uso y abuso de un:

    SISTEMA DE REFERENCIA ABSOLUTO — que es lo que quieren usar en ese artículo.  Un sistema de referencia que permita definir tiempos para todo observador y todo punto.  Un sistema donde la simultaneidad es absoluta para todo observador y todo punto.

    Que no es lo mismo que un sistema de referencia privilegiado.  Que no es más que un sistema tal que en el mismo las coordenadas toman una forma simple y su interpretación es más natural para un problema en cuestión.  Sistemas privilegiados hay muchos. Por ejemplo:

    a)  Para un observador externo y estacionario respecto a un agujero negro basta con usar las coordenadas de Schwarzschild.

    b)  Si quieres estudiar cosmología en un espacio homogéneo e isótropo te pones como observador comóvil.

    c)  Si quieres estudiar los efectos relativistas en satélites te pones en un sistema de referencia inercial situado en el centro de la Tierra.

    Los sistemas de referencia privilegiados, por la topología, por la geometría o por los gustos personales no son especiales ni mejores que cualquier otro, simplemente son más “manejables” dependiendo del problema bajo estudio.

    Los sistemas de referencia absolutos entran en conflicto con la relatividad, especial y general.

    Me reafirmo en lo dicho… El artículo criticado en la entrada criticada es muy malo, mucho.  Si a alguien no le gusta la conclusión que me demuestre que estoy equivocado.  Pero tal vez antes quiera pararse un momento a quitarse ciertas confusiones que tiene en estos temas.

    15-nexus-7-with-broken-screen-removed

    Nos seguimos leyendo…

     


    Archivado en: relatividad especial, relatividad general Tagged: dilatación temporal, dimensiones compactas, espacio de Minkowski, paradoja de los gemelos, universo cerrado